1. Nombres reals

Naturals [latex]\mathbb{N}=\left\{1,2,3,4,…\right\}[/latex]

[latex]
\begin{array}{ll}+: & \mathbb{N}\times\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \\ & (n, m) \mapsto n+m\end{array}
[/latex]

Propietats: [latex]\begin{cases}
associativa: & a+(b+c) = (a+b)+c \\
commutativa: & a+b=b+a \;\;\;\;\;\; \forall a,b \in \mathbb{N}
\end{cases}[/latex]

[latex]
\begin{array}{ll}\cdot: & \mathbb{N}\times\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \\ & (n, m) \mapsto n\cdot m\end{array}
[/latex]

Propietats: [latex]\begin{cases}
associativa \\
commutativa \\
element\;neutre\;(1) \\
distributiva\;respecte\;a\;la\;suma: & a(b+c)=ab+ac
\end{cases}[/latex]

Enters [latex]\mathbb{Z}=\left\{…,-1,0,1,…\right\}[/latex]

La suma també és una operació interna i té element neutre (0) i element oposat. El producte no canvia (és igual que amb els nombres naturals).

Racionals [latex]\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \ne 0\right\}[/latex]

La suma segueix igual que en el cas anterior (associativa, commutativa, element neutre, element oposat).

El producte guanya l’element invers: [latex]\forall x \in \mathbb{Q}, x \ne 0, \exists \frac{1}{x} \in \mathbb{Q} \text{ tal que } x\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\cdot{}x=1[/latex]

Podem resumir-ho com a: [latex](\mathbb{Q}, +, \cdot)[/latex] cos commutatiu.

A més, [latex]\mathbb{Q}[/latex] té les propietats:

  1. donats 2 nombres racionals, existeixen infinits nombres entre ells ([latex]\mathbb{Q}[/latex] és dens en [latex]\mathbb{R}[/latex]).
    [latex]\forall p,q \in \mathbb{Q}, p \ne q \Rightarrow \exists[/latex] infinits nombres racionals diferents entre [latex]p[/latex] i [latex]q[/latex].
    Demostració: Suposem [latex]p < q \Rightarrow p < \frac{p+q}{2} < q[/latex].
  2. [latex]q \in \mathbb{Q} \Rightarrow q[/latex] admet una expressió decimal exacta o peròdica. Exemples:
    [latex]\frac{1}{4}=0.25[/latex], [latex]\frac{1}{3}=0.\overline{3}[/latex], [latex]\frac{23}{90}=mixte[/latex].

Irracionals [latex]\mathbb{I}=\mathbb{R}-\mathbb{Q}[/latex]

Són el conjunt dels nombres amb expressió decimal que tenen infinites xifres decimals no periòdiques.

Exemples: [latex]\pi, \sqrt{2}, \sqrt{5}, e, 1.12131412345\ldots, etc.[/latex].

Reals [latex]\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \left\{\mathbb{R}-\mathbb{Q}\right\}[/latex]

[latex](\mathbb{R}, +, \cdot)[/latex] cos commutatiu ordenat (els nombres tenen ordre).

Relació d’ordre en [latex]\mathbb{R}[/latex]

[latex]x, y \in \mathbb{R}: x \le y \Leftrightarrow y-x \ge 0[/latex]

[latex]\begin{array}{ll}
1.\; \forall x & x \le x \\
2.\; \forall x,y & (x \le y \land y \le x) \Rightarrow x=y \\
3.\; \forall x,y,z & \begin{cases}x \le y \\ y \le z\end{cases} \Rightarrow x \le z \\
4.\; \forall x,y & x \le y \lor y \le x \\
5.\; \forall x,y,z \in \mathbb{R} & x \le y \Rightarrow x+z \le y+z \\
6.\; \forall x,y \in \mathbb{R}, \forall z \in \mathbb{R}, z \ge 0 & x \le y \Rightarrow xz \le yz \\
7.\; \forall x,y \in \mathbb{R}, \forall z \in \mathbb{R}, z < 0 & x \le y \Rightarrow xz \ge yz \\ 8.\; x < y \Leftrightarrow \begin{cases}x \le y \\ x \ne y\end{cases} \end{array}[/latex]

Elements notables d’un conjunt respecte de la [latex]\le[/latex]
[latex]\begin{cases}A \subset \mathbb{R} \\ x \in \mathbb{R}\end{cases}[/latex] x és una cota inferior d’A [latex]\Leftrightarrow[/latex] [latex]x \le a\;\;\;\;\;\forall a \in A[/latex]
x és una cota superior d’A [latex]\Leftrightarrow[/latex] [latex]x \ge a\;\;\;\;\;\forall a \in A[/latex]

A està acotat inferiorment [latex]\Leftrightarrow \exists x \in \mathbb{R}[/latex] / [latex]x[/latex] és cota inferior d’A.
A està acotat superiorment [latex]\Leftrightarrow \exists x \in \mathbb{R}[/latex] / [latex]x[/latex] és cota superior d’A.
A està acotat [latex]\Leftrightarrow[/latex] A està acotat superiorment i inferior.

x és el ínfim d’A [latex]\Leftrightarrow[/latex] x és la major de les cotes inferiors d’A [latex]\to x = \inf A[/latex].
x és el suprem d’A [latex]\Leftrightarrow[/latex] x és la menor de les cotes superior d’A [latex]\to x = \sup A[/latex].

si [latex]\inf A \in A \Rightarrow \inf A = \min A[/latex]
si [latex]\sup A \in A \Rightarrow \sup A = \max A[/latex]

Teorema de l’extrem (també axioma del suprem) [latex]\leftarrow \begin{cases}es\;compleix\;en\;\mathbb{R} \\ no\;es\;\;compleix\;en\;\mathbb{Q}\end{cases}[/latex]

[latex]A \subseteq \mathbb{R}, A[/latex] acotat superiorment [latex]\Rightarrow \exists x \in \mathbb{R}[/latex] / [latex]x=sup A[/latex]
[latex]A \subseteq \mathbb{R}, A[/latex] acotat inferiorment [latex]\Rightarrow \exists x \in \mathbb{R}[/latex] / [latex]x=inf A[/latex]

Valor absolut

[latex]x \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;|x| = \begin{cases}x & x \ge 0 \\ -x & x < 0\end{cases}[/latex] Propietats:

[latex]\begin{array}{ll}
1.\; \forall x & |x| \ge 0 \\
2.\; & |x| = 0 \Rightarrow x = 0 \\
3.\; \forall x,y & |x+y| \le |x| + |y| \\
4.\; \forall x,y & |x\cdot y| = |x| \cdot |y| \\
5.\; a > 0 & |x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \Leftrightarrow x \in (-a, a) \\ 6.\; a > 0 & |x| > a \Leftrightarrow x \le -a \lor x > a
\end{array}[/latex]


2. Nombres complexos

La «unitat imaginària» és [latex]\sqrt{-1}=i[/latex].

Els nombres complexos són els nombres [latex]a+bi[/latex], amb [latex]a,b \in \mathbb{R}[/latex].

Conjunt dels nombres complexos: [latex]\mathbb{C} = \left\{a+bi | a,b \in \mathbb{R^2}\right\}[/latex].

Donat [latex]z=a+bi \; \begin{cases}a = part\;real\;del\;nombre\;complex\;z \\ b=part\;imaginària\;del\;nombre\;complex\end{cases}[/latex]

Donat [latex]z=a+bi[/latex], diem que el conjugat de [latex]z[/latex] és [latex]\overline{z}=a-bi[/latex].

En [latex]\mathbb{C}[/latex], [latex]ax^2+bx+c=0[/latex] amb [latex]a,b,c \in \mathbb{R}[/latex], sempre té solució en [latex]\mathbb{C}[/latex]. Exemple:

[latex]x^2-4x+8=0 \Rightarrow x = \frac{4\pm\sqrt{16-32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{4\pm4i}{2} = \begin{cases}2+2i \\ 2-2i\end{cases}[/latex]
(Recorda: [latex]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/latex])

Operacions

Suma

[latex]\begin{cases}z_{1}=a+bi \\ z_{2}=c+di\end{cases} \;\;\;\;\;\; z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i[/latex]

Producte

[latex]z_1z_2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd)+(ad+bi)i[/latex]
(Recorda: [latex]i^2=-1[/latex])

[latex](\mathbb{C}, +, \cdot)[/latex] és un cos commutatiu.

L’invers de [latex]z=a+bi \ne 0[/latex] és [latex]\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2-(bi)^2}=\frac{a-bi}{a^2-b^2i^2}=[/latex] [latex]\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i[/latex]

Quocient

[latex]\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i[/latex]

 

Mòdul d’un nombre complex

[latex]z=a+bi \rightarrow |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\cdot\overline{z}}[/latex]

Propietats:

[latex]\begin{cases}
1.\; |z| \ge 0 & \forall z \in \mathbb{C} \\
2.\; |z| = 0 & z = 0 = 0+0i \\
3.\; \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C} & |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2| \\
4.\; \forall z_1, z_2 \in \mathbb{C} & |z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot|z_2| \\
5.\; & z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow b=0 \Rightarrow |z| \text{ (mòdul)} = |z| \text{ (abs)}
\end{cases}[/latex]

 

Argument d’un nombre complex

[latex]z=a+bi \rightarrow \arg(z)=[/latex] angle que forma en [latex]\mathbb{R^2}[/latex] el vector origen (0,0) i final (a,b) amb el semieix [latex]\vec{O_x^+}[/latex].
(Els signes d’a i b determinen el quadrant.)

 

Com calcular la part real i la part imaginària sabent [latex]|z|[/latex] i [latex]\arg(z)[/latex]?

[latex]\sin \alpha = \frac{b}{|z|} \rightarrow b=|z|\sin(\arg(z))[/latex]
[latex]\cos \alpha = \frac{a}{|z|} \rightarrow a=|z|\cos(\arg(z))[/latex]

Representacions dels nombres complexos

Amb [latex]z \in \mathbb{Z}[/latex], la forma [latex]z=a+bi[/latex] és anomenada la forma binòmica del nombre complex [latex]z[/latex].

També podem expressar [latex]z[/latex] per mitjà de [latex]|z|[/latex] i [latex]\arg(z)=\alpha[/latex] de la següent forma: [latex]z = |z|\cos(\arg(z)) + |z|\sin(\arg(z))i = |z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)[/latex]. Aquesta representació s’anomena forma trigonomètrica de [latex]z[/latex].

Finalment, també utilitzem la forma polar: [latex]z=|z|_{\arg(z)}=r_{\alpha}[/latex] 

Exemples:
[latex]z=1+i \rightarrow[/latex] [latex]\left | \begin{array}{l}
|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \\
\arg(z)=\arctan\frac{1}{1}=\arctan 1=\frac{\pi}{4} \\
z=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}) \\
z=\sqrt{2}_{\frac{\pi}{4}}
\end{array} \right .[/latex]
[latex]z=-1-i \rightarrow[/latex] [latex]\left | \begin{array}{l}
|z|=\sqrt{2} \\
\arg(z)=\arctan\frac{-1}{-1}=\arctan 1=\frac{5\pi}{4} \\
z=\sqrt{2}(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4})=\sqrt{2}(-\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}) \\
z=\sqrt{2}_{\frac{5\pi}{4}}
\end{array} \right .[/latex]
[latex]z=1-i \rightarrow[/latex] [latex]\begin{array}{cc}|z|=\sqrt{2} & \arg(z)=\arctan\frac{1}{-1}=\arctan -1=\frac{7\pi}{4}\end{array}[/latex]

Representació gràfica dels nombres complexos en el pla complex:

Operacions en forma polar
[latex]\begin{cases}z_1=r_{\alpha} \\ z_2=s_{\beta}\end{cases}[/latex] (No es pot sumar ni restar!)
producte: [latex]z_1z_2=(r\cdot s)_{\alpha+\beta}[/latex] potència: [latex](z_1)^n=(r^n)_{n\cdot\alpha}[/latex]
quocient: [latex]\frac{z_1}{z_2}=(\frac{r}{s})_{\alpha-\beta}[/latex] arrel: [latex]\sqrt[n]{z_1}=
\begin{cases}
\sqrt[n]{r_{\frac{\alpha}{n}}} \\
\sqrt[n]{r_{\frac{\alpha+2\pi}{n}}} \\
… \\
\sqrt[n]{r_{\frac{\alpha+(n-1)2\pi}{n}}}
\end{cases}[/latex]
igualtat: [latex]r_\alpha=s_\beta \Leftrightarrow r=s \land \alpha-\beta=2k\pi, k \in \mathbb{Z}[/latex]

Si [latex]r=1[/latex], per la fórmula de la potència: [latex](1_\alpha)^n=1_{n\alpha}[/latex]. Desenvolupant aquesta igualtat obtenim: [latex](\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = (cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))[/latex], la fórmula de Moivre.

You are reading: Apunts de Càlcul