Introducció

Considerem una funció real de variable real [latex]f: A \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/latex] tal que [latex]\forall x \in A[/latex] existeix com a màxim un [latex]y \in \mathbb{R} : y=f(x)[/latex]. Definim:

Definim el domini d’una funció:
[latex]\operatorname{Dom} f = \left\{x \in \mathbb{R} / \exists f(x) \in \mathbb{R}\right\} = \left\{x \in \mathbb{R} / \exists y \in \mathbb{R} / y=f(x)\right\}[/latex]

I el recorregut d’una funció:
[latex]\operatorname{Im} f = \left\{f(x) / x \in \operatorname{Dom} f\right\} = \left\{y \in \mathbb{R} / \exists x \in \operatorname{Dom} f / y=f(x)\right\}[/latex]

També: [latex]\operatorname{Graf}(f) = \left\{(x,y) / x \in \operatorname{Dom} f\right\}[/latex] 

Exemple

[latex]\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)=|x|\end{array}[/latex] [latex]\operatorname{Dom f} = \mathbb{R}[/latex]
[latex]\operatorname{Im f} = \mathbb{R^+} \cup \{0\} = [0, +\infty)[/latex]
[latex]\operatorname{Graf(f)} = \left\{(x,x) / x \ge 0\right\} \cup \left\{(x,-x) / x < 0\right\}[/latex]
Tipus de funcions

Una funció [latex]\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}[/latex]:

  1. és parella [latex]\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(-x) = f(x)[/latex]
  2. és imparella [latex]\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(-x) = -f(x) [/latex]
  3. és periòdica de període [latex]w \in \mathbb{R}[/latex] [latex]\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, \begin{cases}f(x+w) = f(x) \\ \forall k \in \mathbb{Z}, f(x+kw)=f(x)\end{cases}[/latex]
  4. és creixent (no decreixent) [latex]\Leftrightarrow \forall x,y \in \operatorname{Dom} f, x < y \Rightarrow f(x) \le f(y) [/latex]
  5. és estrictament creixent [latex]\Leftrightarrow \forall x, y \in \operatorname{Dom} f, x < y \Rightarrow f(x) < f(y) [/latex]
  6. és decreixent [latex]\Leftrightarrow \forall x,y \in \operatorname{Dom} f, x < y \Rightarrow f(x) \ge f(y)[/latex]
  7. és estrictament decreixent [latex]\Leftrightarrow \forall x,x \in \operatorname{Dom} f, x < y \Rightarrow f(x) > f(y)[/latex]
  8. està acotada superiorment [latex]\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(x) \le k[/latex]
  9. està acotada inferiorment [latex]\Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(x) \ge m[/latex]
  10. està acotada [latex]\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, |f(x)| \le k[/latex]
  11. és injectiva [latex]\Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in \operatorname{Dom} f, x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)[/latex]
  12. és exhaustiva [latex]\Leftrightarrow \begin{array}{l}\operatorname{Im} f = \mathbb{R} \\ \forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \operatorname{Dom} f / y = f(x)\end{array}[/latex]
  13. és bijectiva [latex]\Leftrightarrow[/latex] és injectiva i exhaustiva ([latex]\forall y \in \mathbb{R}, \exists!x / f(x)=y[/latex])
Operacions amb funcions
[latex]
\begin{cases}
\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\
\begin{array}{ll}g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto g(x)\end{array} \\
\lambda \in \mathbb{R}
\end{cases}
[/latex]
[latex]
\begin{array}{l}
\begin{array}{ll}f+g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (f+g)(x)=f(x)+g(x)\end{array} \\
\begin{array}{ll}f/g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \text{ si } g(x) \ne 0\end{array} \\
\begin{array}{ll}\lambda f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\end{array} \\
\end{array}
[/latex]
Composició de funcions

[latex]f\circ g \;\;\;\;\;\; \begin{array}{l}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto (f\circ g)(x)=f(g(x))\end{array}[/latex] 

Funció inversa
[latex]\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}[/latex] Funció injectiva [latex]\Rightarrow[/latex] la seva funció inversa és [latex]\begin{array}{ll}f^{-1}: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f^{-1}(x)\end{array}[/latex] [latex]f^{-1}\circ f = f \circ f^{-1} = I[/latex]         [latex]\begin{cases}\forall x \in \operatorname{Dom} f^{-1} & f(f^{-1}(x))=x \\ \forall x \in \operatorname{Dom} f & f^{-1}(f(x))=x\end{cases}[/latex]
Asímptotes

[latex]\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}[/latex]

[latex]x=a[/latex] és una asímptota vertical de la funció [latex]f \Leftrightarrow \lim_{x \to a} (x) = \begin{cases}+\infty \\ -\infty \\ \infty\end{cases}[/latex]
[latex]x=b[/latex] és una asímptota horizontal

  • per la dreta [latex]\Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} f(x) = b[/latex]
  • per l’esquerra [latex]\Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty} f(x) = b[/latex]
[latex]y=mx+n[/latex] és una asímptota oblíqua

  • per la dreta d'[latex]y=f(x) \Leftrightarrow m=\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}[/latex] i [latex]m=\lim_{x \to +\infty}(f(x)-mx)[/latex]
  • per l’esquerra (igual que per la dreta però amb [latex]-\infty[/latex])
Continuïtat
[latex]\begin{array}{l}\begin{array}{l?}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\ a \in \mathbb{R}\end{array}[/latex]

[latex]f[/latex] és contínua en [latex]a[/latex] [latex]\Leftrightarrow \exists f(a) \land \exists \lim_{x \to a} f(x) \land \lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/latex] (amb [latex]a \in \operatorname{Dom}f[/latex]).

[latex]f[/latex] és contínua en [latex]A[/latex] [latex]\Leftrightarrow f[/latex] és contínua en [latex]a[/latex], [latex]\forall a \in A[/latex].

Tipus de punts de discontinuïtat d’una funció

[latex]a[/latex] és un punt de discontinuïtat evitable d'[latex]f[/latex] [latex]\Leftrightarrow \exists \lim_{x \to a} f(x) \land (\nexists f(a) \lor f(a) \ne \lim_{x \to a} f(x))[/latex].

Per evitar aquest tipus de discontinuïtat podem redefinir la funció: [latex]F(x)=\begin{cases}f(x) & x \ne a \\ \lim f(x) & x=a\end{cases}[/latex]

Si [latex]\nexists \lim_{x \to a}f(x) \in \mathbb{R} \Rightarrow a[/latex] és un punt de discontinuïtat essencial.

Si [latex]\lim_{x \to a} f(x) = \begin{cases}+\infty \\ -\infty \\ \infty\end{cases} \Rightarrow a[/latex] és un punt de discontinuïtat asimptòtica o de 2a espècia.

Si [latex]\begin{cases}\lim_{x\to a^{-}} f(x) \in \mathbb{R} \\ \land \\ \lim{x \to a^{+}} f(x) \in \mathbb{R} \\ \land \\ \lim_{x \to a^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to a^{+}} f(x)\end{cases} \Rightarrow a[/latex] és un punt de discontinuïtat de salt finit.

Derivabilitat
[latex]\begin{array}{l}\begin{array}{l?}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\ a \in \operatorname{Dom}f\end{array}[/latex]

[latex]f[/latex] és derivable en [latex]a[/latex] si [latex]\exists \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \in \mathbb{R}[/latex]. Aquest és igual a [latex]\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}[/latex] = [latex]f'(a)[/latex] = pendent de la recta tangent a la curva [latex]y = f(x)[/latex] en el punt d’abscissa [latex]a[/latex], [latex](a, f(a))[/latex].

Recta tangent a [latex]y=f(x)[/latex] on el punt d'[latex]x=a[/latex]: [latex]y=f(a)+f'(a)(x-a)[/latex].

You are reading: Apunts de Càlcul